La géométrie dans le plan repéré combine les concepts de géométrie avec ceux d'algèbre, permettant de décrire et d'étudier les figures géométriques à l'aide de coordonnées et d'équations. Cette approche est fondamentale en mathématiques et trouve de nombreuses applications dans divers domaines tels que la physique, l'ingénierie et l'informatique.
Le plan cartésien est un système de coordonnées à deux dimensions, composé de deux axes perpendiculaires :
L'intersection de ces axes est appelée l'origine du repère, notée O(0,0).
Chaque point du plan est représenté par un couple de nombres réels (x,y) :
Exemple : Le point A(3,2) est situé à 3 unités à droite de l'axe des ordonnées et à 2 unités au-dessus de l'axe des abscisses.
La distance entre deux points A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂) est donnée par la formule :
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Exemple : Calculons la distance entre A(1,2) et B(4,6)
\[ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
La distance entre A et B est donc de 5 unités.
Les coordonnées du milieu M d'un segment [AB] sont données par :
\[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
Exemple : Trouvons les coordonnées du milieu du segment [AB] avec A(1,2) et B(5,8)
\[ M\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = M(3, 5) \]
L'équation générale d'une droite dans le plan cartésien est de la forme :
\[ y = mx + p \]
où :
Théorème : Deux points A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂) déterminent une unique droite dont l'équation peut être trouvée en calculant :
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
puis en utilisant l'un des points pour trouver p.
Parallélisme : Deux droites d'équations y = m₁x + p₁ et y = m₂x + p₂ sont parallèles si et seulement si m₁ = m₂.
Perpendicularité : Deux droites d'équations y = m₁x + p₁ et y = m₂x + p₂ sont perpendiculaires si et seulement si m₁ × m₂ = -1.
Exercice 1 : Calculez la distance entre les points C(-2,3) et D(4,-1).
Exercice 2 : Déterminez l'équation de la droite passant par les points E(0,2) et F(3,8).