Applications géométriques du Produit Scalaire
Le produit scalaire est un outil puissant en géométrie, permettant de résoudre de nombreux problèmes. Voici quelques-unes de ses applications les plus importantes :
1. Calcul de l'angle entre deux vecteurs
Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs non nuls formant un angle \(\theta\), alors :
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \]On peut donc en déduire \(\theta\) en utilisant la fonction arccos :
\[ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}\right) \]2. Vérification de l'orthogonalité
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul :
\[ \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]3. Calcul de projections
La projection orthogonale de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) est donnée par :
\[ \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \]4. Calcul de distances
La distance d'un point M(x,y) à une droite d'équation ax + by + c = 0 est donnée par :
\[ d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]Cette formule utilise implicitement le produit scalaire.
5. Loi des cosinus (Al-Kashi)
Dans un triangle ABC, on a :
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC}) \]Cette formule est une généralisation du théorème de Pythagore et utilise le produit scalaire.
Cette visualisation interactive montre deux vecteurs \(\vec{u}\) (rouge) et \(\vec{v}\) (bleu), ainsi que la projection de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) (en vert). Les vecteurs tournent pour montrer comment l'angle et la projection changent.
Importance en physique
Le produit scalaire est largement utilisé en physique, notamment pour calculer le travail d'une force :
où \(W\) est le travail, \(\vec{F}\) est la force appliquée, et \(\vec{d}\) est le déplacement.