Les formules du produit scalaire
Le produit scalaire est un outil puissant en géométrie. Voici les principales formules pour le calculer :
1. Formule avec les coordonnées
Pour deux vecteurs \(\vec{u}(x_1, y_1)\) et \(\vec{v}(x_2, y_2)\) :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \]2. Formule avec la norme et l'angle
Si \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \]3. Formule de polarisation
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2) \]Exemples de calculs
Exemple 1: Utilisation de la formule avec les coordonnées
Calculons le produit scalaire de \(\vec{u}(3, 4)\) et \(\vec{v}(-1, 2)\) :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-1) + 4 \times 2 = -3 + 8 = 5 \]Exemple 2: Utilisation de la formule avec la norme et l'angle
Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de norme 5 et 3 respectivement, formant un angle de 60°. Calculons leur produit scalaire :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 3 \times \cos(60°) = 15 \times \frac{1}{2} = 7.5 \]Note importante
Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est toujours égal à zéro. C'est une propriété très utile pour vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs.
Représentation graphique
Voici une représentation graphique de deux vecteurs et de leur produit scalaire :
Applications pratiques
Le produit scalaire est utilisé dans de nombreux domaines :
- En physique, pour calculer le travail d'une force
- En informatique graphique, pour les calculs d'éclairage et d'ombres
- En analyse de données, pour mesurer la similarité entre vecteurs