Le Produit Scalaire : Définition et Propriétés
Le produit scalaire est une opération fondamentale en géométrie et en algèbre linéaire. Il associe à deux vecteurs un nombre réel, ce qui en fait un outil puissant pour étudier les relations entre les vecteurs.
Définition
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) et peut être défini de plusieurs façons équivalentes :
1. Définition algébrique
Si \(\vec{u}(x_1, y_1)\) et \(\vec{v}(x_2, y_2)\) sont deux vecteurs du plan, alors :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \]2. Définition géométrique
Si \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), alors :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \]où \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\) sont les normes (longueurs) des vecteurs.
Propriétés fondamentales
- Commutativité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Distributivité par rapport à l'addition : \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)
- Homogénéité : \((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\), où \(k\) est un scalaire
- Positivité : \(\vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0\), et \(\vec{u} \cdot \vec{u} = 0\) si et seulement si \(\vec{u} = \vec{0}\)
Exemple
Calculons le produit scalaire de \(\vec{u}(3, 4)\) et \(\vec{v}(-1, 2)\) :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3(-1) + 4(2) = -3 + 8 = 5 \]Note importante
Le produit scalaire permet de déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires. En effet, si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont perpendiculaires.
Cette visualisation interactive montre deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et l'angle \(\theta\) entre eux. Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est lié à cet angle par la formule géométrique.
Découvrir les applications du produit scalaire