Spécialité Mathématiques - Lycée
Une suite récurrente est une suite définie par une relation de récurrence, c'est-à-dire que chaque terme de la suite est défini en fonction des termes précédents.
Les suites récurrentes sont très importantes en mathématiques car elles permettent de modéliser de nombreux phénomènes dans lesquels chaque état dépend des états précédents.
Une suite récurrente d'ordre 1 est définie par une relation de la forme :
un+1 = f(un)
où f est une fonction et u0 est le premier terme de la suite (condition initiale).
La suite définie par un+1 = 2un + 1 avec u0 = 1 est une suite récurrente d'ordre 1.
Les premiers termes de cette suite sont : 1, 3, 7, 15, 31, ...
Une suite récurrente d'ordre 2 est définie par une relation de la forme :
un+2 = f(un+1, un)
où f est une fonction et u0 et u1 sont les deux premiers termes de la suite (conditions initiales).
La suite de Fibonacci est une suite récurrente d'ordre 2 définie par :
un+2 = un+1 + un
avec u0 = 0 et u1 = 1
Les premiers termes de cette suite sont : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Pour calculer les termes d'une suite récurrente, on applique la relation de récurrence de manière itérative à partir des conditions initiales.
L'étude de la monotonie d'une suite récurrente peut souvent se faire par récurrence, en comparant un+1 et un.
Si une suite récurrente d'ordre 1 définie par un+1 = f(un) converge vers une limite l, alors cette limite vérifie l'équation :
l = f(l)
La convergence d'une suite récurrente n'est pas toujours garantie. Il existe des suites récurrentes qui divergent ou qui ont un comportement plus complexe (cycles, chaos).