Soit la suite arithmétique \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et de raison \(r = 2\).
Pour une suite arithmétique, le terme général est donné par : \(u_n = u_0 + n \times r\)
Ici, \(u_n = 3 + n \times 2 = 3 + 2n\)
Calculons les 5 premiers termes :
\(u_0 = 3\)
\(u_1 = 3 + 2 \times 1 = 5\)
\(u_2 = 3 + 2 \times 2 = 7\)
\(u_3 = 3 + 2 \times 3 = 9\)
\(u_4 = 3 + 2 \times 4 = 11\)
On considère la suite géométrique \((v_n)\) définie par \(v_0 = 1\) et de raison \(q = 3\).
Pour une suite géométrique, le terme général est donné par : \(v_n = v_0 \times q^n\)
Ici, \(v_n = 1 \times 3^n = 3^n\)
\(v_5 = 3^5 = 243\)
On cherche n tel que \(3^n > 1000\)
En prenant le logarithme en base 3 des deux côtés : \(n > \log_3(1000)\)
\(n > 6.29\)
Le plus petit entier n vérifiant cette condition est 7.
Soit la suite \((w_n)\) définie par récurrence : \(w_0 = 2\) et pour tout entier naturel n, \(w_{n+1} = 2w_n - 1\).
\(w_1 = 2w_0 - 1 = 2 \times 2 - 1 = 3\)
\(w_2 = 2w_1 - 1 = 2 \times 3 - 1 = 5\)
\(w_3 = 2w_2 - 1 = 2 \times 5 - 1 = 9\)
Montrons que \((u_n)\) est une suite géométrique :
\(u_{n+1} = w_{n+1} - 1 = (2w_n - 1) - 1 = 2w_n - 2 = 2(w_n - 1) = 2u_n\)
Donc \((u_n)\) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme \(u_0 = w_0 - 1 = 1\).
Pour \((u_n)\), on a : \(u_n = u_0 \times 2^n = 2^n\)
Or, \(w_n = u_n + 1\), donc : \(w_n = 2^n + 1\)