Exercices sur les Suites (Première)

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Exercice 1: Suite arithmétique

Facile

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 5\) et de raison \(r = 3\).

  1. Calculer les termes \(u_1\), \(u_2\), et \(u_3\).
  2. Donner l'expression du terme général \(u_n\) en fonction de n.
  3. Calculer \(u_{10}\).
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Solution

Les termes de la suite arithmétique sont :

  • \(u_1 = u_0 + r = 5 + 3 = 8\)
  • \(u_2 = u_1 + r = 8 + 3 = 11\)
  • \(u_3 = u_2 + r = 11 + 3 = 14\)

L'expression du terme général est :

\(u_n = u_0 + n \cdot r = 5 + 3n\)

Pour \(u_{10}\) :

\(u_{10} = 5 + 10 \cdot 3 = 35\)

Exercice 2: Suite géométrique

Moyen

On considère la suite géométrique \((v_n)\) définie par \(v_0 = 2\) et de raison \(q = \frac{1}{2}\).

  1. Exprimer \(v_n\) en fonction de n.
  2. Calculer \(v_5\) et donner le résultat sous forme fractionnaire.
  3. Déterminer le plus petit entier n tel que \(v_n < 10^{-3}\).
Voir la solution

Solution

Les termes de la suite géométrique sont :

\(v_n = v_0 \cdot q^n = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2 \cdot 2^{-n} = 2^{1-n}\)

Pour \(v_5\) :

\(v_5 = 2^{1-5} = 2^{-4} = \frac{1}{16}\)

Pour déterminer le plus petit entier n tel que \(v_n < 10^{-3}\) :

\(2^{1-n} < 10^{-3} \implies 1-n < \log_2(10^{-3}) \implies n > 1 + 3\log_2(10)\)

En arrondissant à l'entier supérieur, nous trouvons \(n = 10\)

Exercice 3: Suite définie par récurrence

Difficile

Soit la suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 1\) et \(w_{n+1} = 2w_n + 1\).

  1. Calculer les termes \(w_1\), \(w_2\) et \(w_3\).
  2. Montrer par récurrence que \(w_n = 2^n - 1\).
  3. Calculer \(w_5\).
Voir la solution

Solution

Calcul des premiers termes :

  • \(w_1 = 2w_0 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3\)
  • \(w_2 = 2w_1 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7\)
  • \(w_3 = 2w_2 + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15\)

Par récurrence, montrons que \(w_n = 2^n - 1\) :

  • Initialisation : Pour \(n = 0\), \(w_0 = 1 = 2^0 - 1\)
  • Hérédité : Supposons que \(w_k = 2^k - 1\) pour un entier \(k \geq 0\). Montrons que \(w_{k+1} = 2^{k+1} - 1\).
  • \(w_{k+1} = 2w_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 2 + 1 = 2^{k+1} - 1\)

Par le principe de récurrence, \(w_n = 2^n - 1\) est vrai pour tout \(n \geq 0\).

Pour \(w_5\) :

\(w_5 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31\)

Exercice 4: Suite convergente

Moyen

Soit la suite \((x_n)\) définie par \(x_0 = 1\) et \(x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + 3)\).

  1. Calculer les termes \(x_1\), \(x_2\), et \(x_3\).
  2. Conjecturer la limite de la suite \((x_n)\).
  3. Montrer que la suite \((x_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
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Solution

Calcul des premiers termes :

  • \(x_1 = \frac{1}{2}(x_0 + 3) = \frac{1}{2}(1 + 3) = 2\)
  • \(x_2 = \frac{1}{2}(x_1 + 3) = \frac{1}{2}(2 + 3) = 2.5\)
  • \(x_3 = \frac{1}{2}(x_2 + 3) = \frac{1}{2}(2.5 + 3) = 2.75\)

Conjecture : La suite semble converger vers 3.

Montrons que la suite converge et déterminons sa limite :

Soit \(L\) la limite de \((x_n)\). Si \(x_n\) converge vers \(L\), alors \(x_{n+1}\) converge aussi vers \(L\). En passant à la limite dans la relation de récurrence, nous obtenons :

\(L = \frac{1}{2}(L + 3) \implies 2L = L + 3 \implies L = 3\)

Donc, la suite \((x_n)\) converge vers 3.

Exercice 5: Suite divergente

Moyen

Soit la suite \((y_n)\) définie par \(y_0 = 2\) et \(y_{n+1} = y_n + 1\).

  1. Calculer les termes \(y_1\), \(y_2\), et \(y_3\).
  2. Montrer que la suite est divergente.
  3. Donner l'expression de \(y_n\) en fonction de \(n\).
Voir la solution

Solution

Calcul des premiers termes :

  • \(y_1 = y_0 + 1 = 2 + 1 = 3\)
  • \(y_2 = y_1 + 1 = 3 + 1 = 4\)
  • \(y_3 = y_2 + 1 = 4 + 1 = 5\)

La suite \((y_n)\) est arithmétique de raison 1.

Montrons que la suite est divergente :

L'expression de \(y_n\) en fonction de \(n\) est \(y_n = y_0 + n \cdot 1 = 2 + n\).

Quand \(n \to \infty\), \(y_n \to \infty\), donc la suite est divergente.