Exercices sur le Cercle Trigonométrique

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Introduction

Ces exercices vous aideront à maîtriser les concepts liés au cercle trigonométrique. N'hésitez pas à utiliser le cercle interactif pour visualiser les solutions.

Exercice 1: Lecture sur le cercle trigonométrique

Déterminez les coordonnées des points suivants sur le cercle trigonométrique :

  1. Le point correspondant à un angle de π/3
  2. Le point correspondant à un angle de 5π/4

1. Pour un angle de π/3 :

  • x = cos(π/3) = 1/2
  • y = sin(π/3) = √3/2

Les coordonnées sont donc (1/2, √3/2)

2. Pour un angle de 5π/4 :

  • x = cos(5π/4) = -√2/2
  • y = sin(5π/4) = -√2/2

Les coordonnées sont donc (-√2/2, -√2/2)

Exercice 2: Valeurs remarquables

Sans utiliser de calculatrice, donnez les valeurs exactes de :

  1. sin(π/6)
  2. cos(π/4)
  3. tan(π/3)

1. sin(π/6) = 1/2

2. cos(π/4) = √2/2

3. tan(π/3) = √3

Exercice 3: Équations trigonométriques simples

Résolvez les équations suivantes sur [0, 2π] :

  1. cos(x) = 1/2
  2. sin(x) = -1

1. cos(x) = 1/2

Les solutions sont :

  • x = π/3
  • x = 5π/3

2. sin(x) = -1

La solution est :

  • x = 3π/2

Exercice 4: Relations trigonométriques

Démontrez la relation suivante en utilisant le cercle trigonométrique :

sin²(x) + cos²(x) = 1

Démonstration :

  1. Dans le cercle trigonométrique, les coordonnées d'un point M sont (cos(x), sin(x)).
  2. La distance OM est égale au rayon du cercle, qui vaut 1.
  3. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OPM :
  4. OP² + PM² = OM²
  5. cos²(x) + sin²(x) = 1²
  6. Donc, sin²(x) + cos²(x) = 1

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