Dans une population, la proportion de personnes ayant les yeux bleus est de 15%. On souhaite réaliser un sondage sur un échantillon de 200 personnes.
Calculez l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour la proportion de personnes aux yeux bleus dans cet échantillon.
Pour calculer l'intervalle de fluctuation, on utilise la formule : [p - 1/√n, p + 1/√n]
Avec p = 0,15 et n = 200
Borne inférieure : 0,15 - 1/√200 ≈ 0,15 - 0,0707 ≈ 0,0793
Borne supérieure : 0,15 + 1/√200 ≈ 0,15 + 0,0707 ≈ 0,2207
L'intervalle de fluctuation est donc approximativement [0,0793 ; 0,2207]
Une usine produit des composants électroniques. On estime que 3% des composants sont défectueux. On prélève un échantillon de 500 composants et on observe 25 composants défectueux.
a) Calculez l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour la proportion de composants défectueux dans un échantillon de 500 pièces.
b) La proportion observée dans l'échantillon est-elle compatible avec l'hypothèse que 3% des composants sont défectueux ? Justifiez votre réponse.
a) Calcul de l'intervalle de fluctuation :
p = 0,03 et n = 500
Borne inférieure : 0,03 - 1/√500 ≈ 0,03 - 0,0447 ≈ -0,0147 (on prendra 0 car une proportion ne peut être négative)
Borne supérieure : 0,03 + 1/√500 ≈ 0,03 + 0,0447 ≈ 0,0747
L'intervalle de fluctuation est donc [0 ; 0,0747]
b) La proportion observée dans l'échantillon est de 25/500 = 0,05 = 5%
Cette proportion est comprise dans l'intervalle de fluctuation [0 ; 0,0747]
Conclusion : La proportion observée est compatible avec l'hypothèse que 3% des composants sont défectueux.
Un fabricant de piles affirme que 90% de ses piles ont une durée de vie supérieure à 100 heures. Pour vérifier cette affirmation, on teste 400 piles et on constate que 340 d'entre elles ont une durée de vie supérieure à 100 heures.
a) Calculez l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour la proportion de piles ayant une durée de vie supérieure à 100 heures dans un échantillon de 400 piles.
b) L'affirmation du fabricant vous semble-t-elle crédible ? Justifiez votre réponse.
a) Calcul de l'intervalle de fluctuation :
p = 0,90 et n = 400
Borne inférieure : 0,90 - 1/√400 ≈ 0,90 - 0,05 = 0,85
Borne supérieure : 0,90 + 1/√400 ≈ 0,90 + 0,05 = 0,95
L'intervalle de fluctuation est donc [0,85 ; 0,95]
b) La proportion observée dans l'échantillon est de 340/400 = 0,85 = 85%
Cette proportion est à la limite inférieure de l'intervalle de fluctuation [0,85 ; 0,95]
Conclusion : Bien que la proportion observée soit dans l'intervalle de fluctuation, elle est à sa limite inférieure. L'affirmation du fabricant est techniquement crédible, mais il y a des raisons d'être prudent et de peut-être effectuer d'autres tests pour confirmer.
Utilisez cette calculatrice pour vérifier vos calculs d'intervalle de fluctuation :