Introduction aux équations trigonométriques
Les équations trigonométriques sont des équations qui impliquent des fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente). Résoudre ces équations est une compétence essentielle en trigonométrie et en analyse mathématique.
1. Équations de base
1.1 Équations du type cos(x) = a
Pour résoudre cos(x) = a, avec -1 ≤ a ≤ 1 :
x = ± arccos(a) + 2kπ, k ∈ ℤ
Exemple : Résoudre cos(x) = 1/2
x = ± π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ
1.2 Équations du type sin(x) = a
Pour résoudre sin(x) = a, avec -1 ≤ a ≤ 1 :
x = (-1)ⁿ arcsin(a) + nπ, n ∈ ℤ
Exemple : Résoudre sin(x) = √3/2
x = π/3 + 2kπ ou x = 2π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ
1.3 Équations du type tan(x) = a
Pour résoudre tan(x) = a, avec a ∈ ℝ :
x = arctan(a) + kπ, k ∈ ℤ
Exemple : Résoudre tan(x) = 1
x = π/4 + kπ, k ∈ ℤ
2. Équations trigonométriques plus complexes
2.1 Équations se ramenant au cas simple
Certaines équations peuvent être simplifiées pour se ramener aux cas de base.
Exemple : Résoudre 2sin(x) - 1 = 0
2sin(x) = 1
sin(x) = 1/2
x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ
2.2 Équations du second degré en fonctions trigonométriques
Ces équations peuvent être résolues en utilisant les techniques de résolution des équations du second degré.
Exemple : Résoudre sin²(x) - sin(x) - 1 = 0
Posons u = sin(x)
u² - u - 1 = 0
(u - φ)(u + φ⁻¹) = 0, où φ est le nombre d'or
u = φ ou u = -φ⁻¹
sin(x) = φ ou sin(x) = -φ⁻¹
3. Méthodes de résolution
- Utilisation des formules trigonométriques
- Factorisation
- Substitution
- Utilisation du cercle trigonométrique
Note : La méthode choisie dépend souvent de la forme de l'équation. Il est important de pratiquer diverses méthodes pour gagner en flexibilité.
Exercices d'application
Pour maîtriser la résolution d'équations trigonométriques, la pratique est essentielle.
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