On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Soit X la variable aléatoire qui représente la somme des points obtenus.
a) Déterminez la loi de probabilité de X.
b) Calculez E(X) et V(X).
c) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à 10 ?
a) La loi de probabilité de X est :
| x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
b) L'espérance E(X) :
E(X) = \sum_{i=2}^{12} x_i \cdot P(X=x_i) = 7
La variance V(X) :
V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \sum_{i=2}^{12} x_i^2 \cdot P(X=x_i) - 7^2 = \frac{35}{6} \approx 5.83
c) P(X ≥ 10) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) = 3/36 + 2/36 + 1/36 = 1/6
Une usine fabrique des pièces dont le diamètre suit une loi normale de moyenne μ = 10 cm et d'écart-type σ = 0,1 cm. On prélève un échantillon de 100 pièces.
a) Quelle est la loi suivie par la moyenne de l'échantillon ?
b) Calculez la probabilité que la moyenne de l'échantillon soit comprise entre 9,98 cm et 10,02 cm.
a) La moyenne de l'échantillon suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ/√n :
N(10, \frac{0,1}{\sqrt{100}}) = N(10, 0,01)
b) On cherche P(9,98 ≤ X̄ ≤ 10,02). On standardise :
P(9,98 \leq \bar{X} \leq 10,02) = P(\frac{9,98 - 10}{0,01} \leq Z \leq \frac{10,02 - 10}{0,01})
= P(-2 \leq Z \leq 2)
En utilisant la table de la loi normale centrée réduite :
P(-2 \leq Z \leq 2) = 2 \cdot \Phi(2) - 1 \approx 0,9544
Donc, il y a environ 95,44% de chances que la moyenne de l'échantillon soit comprise entre 9,98 cm et 10,02 cm.
Voici les notes obtenues par 20 élèves à un examen : 12, 15, 8, 13, 17, 14, 9, 11, 16, 10, 13, 15, 12, 18, 14, 11, 13, 16, 9, 12
a) Calculez la moyenne, la médiane et l'écart-type de cette série.
b) Déterminez les quartiles Q1 et Q3.
c) Représentez cette série par un diagramme en boîte.
a) Moyenne : (12+15+8+13+17+14+9+11+16+10+13+15+12+18+14+11+13+16+9+12) / 20 = 12,9
Médiane : 13 (10ème valeur après tri)
Écart-type : √((∑(x-x̄)²)/n) ≈ 2,75
b) Q1 = 11 (5ème valeur après tri)
Q3 = 15 (15ème valeur après tri)
c) Diagramme en boîte :