Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles et 12 sont des garçons. Parmi les filles, 10 portent des lunettes, et parmi les garçons, 4 portent des lunettes. On choisit un élève au hasard.
a) Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit une fille ?
b) Quelle est la probabilité que l'élève choisi porte des lunettes ?
c) Sachant que l'élève choisi porte des lunettes, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
a) La probabilité que l'élève choisi soit une fille est :
P(F) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0,6
b) La probabilité que l'élève choisi porte des lunettes est :
P(L) = \frac{10 + 4}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \approx 0,47
c) La probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'il porte des lunettes est :
P(F|L) = \frac{P(F \cap L)}{P(L)} = \frac{10/30}{14/30} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \approx 0,71
On lance une pièce équilibrée 10 fois. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de faces obtenues.
a) Quelle loi suit la variable X ?
b) Calculez P(X = 3)
c) Calculez P(X ≥ 8)
a) X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,5
On note : X ~ B(10, 0,5)
b) P(X = 3) = C(10,3) * (0,5)^3 * (0,5)^7
P(X = 3) = \binom{10}{3} * (0,5)^{10} \approx 0,1172
c) P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)
P(X \geq 8) = \binom{10}{8}(0,5)^{10} + \binom{10}{9}(0,5)^{10} + \binom{10}{10}(0,5)^{10} \approx 0,0547
Dans une population, la proportion de personnes allergiques au pollen est de 20%. On prélève un échantillon de 100 personnes.
a) Déterminez l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence d'allergiques dans cet échantillon.
b) Si on trouve 28 personnes allergiques dans l'échantillon, peut-on considérer que cet échantillon est représentatif de la population ?
a) L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est donné par :
[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}; p + 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]
Avec p = 0,20 et n = 100, on obtient :
[0,20 - 1,96\sqrt{\frac{0,20(1-0,20)}{100}}; 0,20 + 1,96\sqrt{\frac{0,20(1-0,20)}{100}}]
[0,121; 0,279]
b) La fréquence observée dans l'échantillon est 28/100 = 0,28
Cette fréquence est dans l'intervalle de fluctuation [0,121; 0,279], donc on peut considérer que cet échantillon est représentatif de la population.