1. Introduction aux équations et inéquations
Les équations et inéquations sont des outils mathématiques fondamentaux utilisés pour modéliser et résoudre divers problèmes. En classe de Première, nous approfondissons ces notions et explorons de nouvelles méthodes de résolution.
- Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues.
- Une inéquation est une inégalité entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues.
2. Résolution d'équations
La résolution d'équations consiste à trouver les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Nous allons voir différentes méthodes selon le type d'équation.
2.1 Équations du premier degré
Une équation du premier degré se présente sous la forme ax + b = 0, où a ≠ 0.
Solution :
2x + 3 = 11
2x = 8
x = 4
2.2 Équations du second degré
Une équation du second degré se présente sous la forme ax² + bx + c = 0, où a ≠ 0.
Solutions :
Si Δ > 0 : x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
Si Δ = 0 : x = -b / (2a)
Si Δ < 0 : Pas de solution réelle
Solution :
a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x₁ = (5 - √1) / (2) = 2
x₂ = (5 + √1) / (2) = 3
3. Résolution d'inéquations
La résolution d'inéquations consiste à trouver l'ensemble des valeurs de l'inconnue qui vérifient l'inégalité.
3.1 Inéquations du premier degré
Une inéquation du premier degré se présente sous la forme ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0, ou ax + b ≥ 0, où a ≠ 0.
Solution :
2x - 3 > 5
2x > 8
x > 4
3.2 Inéquations du second degré
Pour résoudre une inéquation du second degré, on utilise l'étude du signe d'une fonction quadratique.
Solution :
Résolvons d'abord l'équation x² - x - 6 = 0
Δ = (-1)² - 4(1)(-6) = 25
x₁ = (1 - 5) / 2 = -2
x₂ = (1 + 5) / 2 = 3
L'inéquation est vérifiée pour x ∈ ]-2 ; 3[
4. Méthodes graphiques
Les méthodes graphiques peuvent être très utiles pour visualiser et résoudre des équations et inéquations.
4.1 Résolution graphique d'équations
Pour résoudre graphiquement f(x) = g(x), on cherche les points d'intersection des courbes représentatives de f et g.
4.2 Résolution graphique d'inéquations
Pour résoudre graphiquement f(x) < g(x), on cherche les intervalles où la courbe de f est en dessous de celle de g.
5. Applications et modélisation
Les équations et inéquations sont utilisées pour modéliser et résoudre de nombreux problèmes concrets.
Modélisation :
Soit x la largeur et y la longueur
2x + 2y = 20 (équation du périmètre)
y > x (contrainte)
Résolution :
y = 10 - x (de l'équation du périmètre)
10 - x > x
10 > 2x
5 > x
Les dimensions possibles sont : 0 < x < 5 et 5 < y < 10
6. Exercices et pratique
La pratique est essentielle pour maîtriser la résolution d'équations et d'inéquations. Voici quelques exercices pour vous entraîner :
Conclusion
Les équations et inéquations sont des outils puissants en mathématiques. Leur maîtrise vous permettra de résoudre une grande variété de problèmes, non seulement en mathématiques, mais aussi dans d'autres domaines scientifiques. Continuez à pratiquer et n'hésitez pas à utiliser les ressources supplémentaires pour approfondir vos connaissances.
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